统计概念与市场回报

CFA

1.描述统计（descriptive statics）与推论统计（inferential statistics）

描述统计（descriptive statics）指的是对总体（population）进行统计特征，而推论统计指的是基于一个样本（sample）来进行判断。

2.测量尺度类型

  • 定类型数据（Nominal Scale）：如两种不同类型的基金。
  • 定序型数据（Ordinal Scale）：如老年、中年、青年、幼年。
  • 定距型数据（Interval Scale）：如温度。
  • 定比型数据（Ratio Scale）：如货币。

3.总体均值（μ）和样本均值（X’）

总体均值是总体中所有观测值的平均值，记作μ：

1
μ = (X1 + X2 + ... + XN) / N

其中，N 是总体中的观测值数量。

样本均值是样本中所有观测值的平均值，记作X‘（应该是 X 拔，即 X 上面有一道横线，打不出来所以用 X‘代替）：

1
X' = (X1 + X2 + ... + Xn) / n

其中，n 是样本中观测值的数量。

4.直方图（Histogram）和折线图（Frequency Polygon）

5.中位数（median）和众数（mode）

  • 中位数（median）就是将数据集排序（升序或者降序）之后，最中间的样本的值。
  • 众数（mode）就是数据集中出现频次最高的值。如果只有一个众数，那么数据集为单峰（unimodal）的，如果是两个或者三个众数，那么称为双峰（bimodal）或者三峰（trimodal）的。

6.几何平均数（geometric median）

几何平均数（geometric median）的计算有两种方式，一种是最基本的计算方式：

1
G = (X1 × X2 × ... × Xn) ^ (1 / n)

另一种计算方式是对回报数据集（returns data set）的几何平均数：

1
1 + RG = [(1 + R1) × (1 + R2) × ... × (1 + R2)] ^ (1 / n)

7.调谐平均数（harmonic mean）

调谐平均数（harmonic mean）的计算方法为：

1
XH = N / [(1 / X1) + (1 / X2) + ...+ (1 / XN)]

8.分位数（Quantile）

分位数（Quantile） 说的是比例所处或者低于该值的术语。

  • 四分位数（Quartiles） 低于四分之一的数值。
  • 五分位数（Quintile）低于五分之一的数值。
  • 十分位数（Decile）低于十分之一的数值。
  • 百分位数（Percentile）低于百分之一的数值。

以百分位数为例，假设给出的百分数为y，计算公式为：

1
Ly = (n + 1) × y / 100

其中，n 为样本总数。

9.范围（range）

1
range = max value - min value

10.平均绝对偏差（MAD，mean absolute deviation）

1
MAD = (|X1 - X'| + |X2 - X'| + ... + |Xn - X'|) / n

其中，X’ 表示样本均值。

11.总体方差（population variance）和总体标准差（population standard deviation）

  • 总体方差（population variance）
1
σ2 = [(X1 - μ) ^ 2 + (X2 - μ) ^ 2 + ... + (XN - μ) ^ 2 ] / N

其中，μ 为总体均值， N 为总体数量。

  • 总体标准差（population standard deviation）
1
σ = ｛[(X1 - μ) ^ 2 + (X2 - μ) ^ 2 + ... + (XN - μ) ^ 2 ] / N｝^ (1 / 2)

12.样本方差（sample variance）和样本标准差（sample standard deviation）

  • 样本方差（sample variance）
1
s2 = [(X1 - X') ^ 2 + (X2 - X') ^ 2 + ... + (XN - X') ^ 2] / (n - 1)

其中，X’ 为样本均值，n 为样本数量。

  • 样本标准差（sample standard deviation）
1
s = {[(X1 - X') ^ 2 + (X2 - X') ^ 2 + ... + (XN - X') ^ 2] / (n - 1)} ^ (1 / 2)

13.切比雪夫不等式（Chebyshev’s inequality）

切比雪夫不等式的内容为：无论样本分布如何，对于 k > 1 的情况，距离均值 k 倍方差以内的样本占比至少为：

1
1 - 1 / k ^2

14.变异系数（coefficient of variation）

变异系数（coefficient of variation）是用来描述相对分布的情况的，其计算公式为：

1
CV = s / X'

其中，s 为样本标准差，X’ 为样本均值。

15.夏普比率（Sharpe Ratio）

夏普比率（Sharpe Ratio）是用来衡量基金绩效（即收益与风险关系）的一个指标。其计算公式为：

1
Sharpe ratio = (rp - rf) / σ

其中，rp 表示投资组合的回报，rf 表示无风险的投资的回报，σ 表示投资组合的标准差。

16.偏度（Skewness）

偏度（Skewness） 用来表示非对称分布的非对称的方向。

  • 正偏（positively skewed）表示极端值（Outliers）存在于向上的区域，或者说分布在右侧有长尾（long tail）。这种情况下：

    1
    均值 > 中值 > 众数

  • 正偏（negatively skewed）表示极端值（Outliers）存在于向下的区域，或者说分布在左侧有长尾（long tail）。这种情况下：

    1
    均值 < 中值 < 众数

偏度计算公式：

1
sk = (1 / n) × [(X1 - X') ^ 3 + (X2 - X') ^ 3 + ... + (Xn - X') ^ 3] / (s ^ 3)

其中，X’ 是样本均值，s 是样本标准差。

17.峰度（kurtosis）

峰度（kurtosis）是用来表示一个分布是否比正态分布更“尖峰”的一侧参数。

  • 尖峰态（leptokurtic）表示比正态分布更“尖峰”。
  • 低峰态（platykurtic）表示比正态分布更“平坦”。
  • 常峰态（mesokurtic）表示比正态分布一致。

峰度计算公式：

1
k = (1 / n) × [(X1 - X') ^ 4 + (X2 - X') ^ 4 + ... + (Xn - X') ^ 4] / (s ^ 4)

其中，X’是样本均值，s 是样本标准差。